Question

14．已知，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点F、G分别在BC、CD上，MG与NF相交于点E．
（1）如图1，求证：四边形AMEN是菱形；
（2）如图2，连接AC在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形．

Answer 1

分析 （1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM=DN，可得AM=AN，即可证得四边形AMEN是菱形；
（2）易得四边形CGEF是菱形；即可得S_△AEM=S_△AEN，S_△CEF=S_△CEG，S_△ABC=S_△ADC，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵BM=DN，
∴AB-BM=AD-DN，
∴AM=AN，
∴四边形AMEN是菱形；

（2）解：∵四边形AMEN是菱形，
∴S_△AEM=S_△AEN，
同理：四边形CGEF是菱形，
∴S_△CEF=S_△CEG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S_△ABC=S_△ADC，
∴S_{四边形MBFE}=S_{四边形DNEG}，S_{四边形MBCE}=S_{四边形DNEC}，S_{四边形MBCG}=S_{四边形DNFC}，S_{四边形ABFE}=S_{四边形ADGE}，S_{四边形ABFN}=S_{四边形ADGM}．

点评 此题考查了菱形的性质与判定．注意证得四边形AMEN是菱形与四边形CGEF是菱形是关键．