Question

4．三角形ABC中，AD是角平分线，AD的中垂线EF交BC的延长线于F，求证：FD是FB和FC的比例中项．

Answer 1

分析 利用线段垂直平分线的性质得出AF=FD，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案

解答 证明：连结AF，如图所示：
∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=FD，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AF}{FB}=\frac{FC}{AF}$，
∴AF²=FB•FC，
即FD²=FB•FC；
即FD是FB和FC的比例中项．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质、比例线段；根据已知得出∠B=∠1是解题关键．