Question

16．已知关于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}{k}^{2}$+1=0有两个实数根．
（1）求k得取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x₁、x₂，且满足|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可得△=（k-1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）≥0，解不等式可得k的范围；
（2）由韦达定理可得x₁+x₂=k+1＞0、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，根据|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5可得k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，解方程结合k的取值范围可得k的值．

解答 解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（k-1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0
解得：k≥$\frac{3}{2}$；
（2）∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=k+1＞0．
又∵x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴|x₁|+|x₂|=x₁+x₂=k+1．
∵|x₁|+|x₂|=4x₁x₂-5，
∴k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，
∴k²-k-2=0，
∴k₁=-1，k₂=2，
又∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴k=2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac及韦达定理的应用．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．