Question

18．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC²=AD•AB，求证：AE=AC．

Answer 1

分析 （1）由BA•BD=BC•BE得$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{ED}$，即可得证；
（2）先根据AC²=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．

解答 证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{ED}$，
∴DE•AB=AC•BE；

（2）∵AC²=AD•AB，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B，
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BD}$，∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．