Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根据全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质得出OE=OF，根据菱形的判定推出即可；
（2）设AF=acm，根据菱形的性质得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出4²+（8-a）²=a²，求出a即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴AO=OC，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO\\∠AOE=∠COF\\ AO=OC\end{array}\right.$
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵O A=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形；

（2）解：设AF=acm，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF=CF=acm，
∵BC=8cm，
∴BF=（8-a）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：4²+（8-a）²=a²，
解得：a=5，
即AF=5cm．

点评 本题考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．