Question

20．探索规律：
观察下列算式，解答问题：
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=19=4²
1+3+5+7+9=25=5²
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+29=15²；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）=（n+1）²；
（3）请用上述规律计算：41+43+45+…+77+79．

Answer 1

分析 （1）根据1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²，可知，$\frac{1+3}{2}$=2；$\frac{1+5}{2}$=3；$\frac{1+7}{2}$=4；$\frac{1+9}{2}$=5；则得1+3+5+7+9+…+29的值．
（2）由（1）可猜到其和为该组数据平均数的平方；
（3）将41+43+45+…+77+79看作1+3+5+…+39+41+43+45+…+77+79与1+3+5+…+39的差．

解答 解：（1）有规律可知，1+3+5+7+9+…+29=（$\frac{1+29}{2}$）²=15²，
故答案为：15²；

（2）由（1）可知1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）=[$\frac{1+（2n+1）}{2}$]²=（n+1）²，
故答案为：（n+1）²；

（3）41+43+45+…+77+79
=（1+3+5+…+39+41+43+45+…+77+79）-（1+3+5+…+39）
=（$\frac{1+79}{2}$）²-（$\frac{1+39}{2}$）²
=1600-400=1200．

点评 此题考查了数字的变化规律，善于观察与积累是解答此类问题的基本思想．