Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），Q是直线x=3上的一个动点，y轴正半轴上是否存在点P，使△APQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设存在，设点P的坐标为（0，m），点Q点坐标为（3，n）（m＞0）．由两点间的距离公式表示出来PA、QA和PQ的长度，结合等腰直角三角形的性质列出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：假设存在，设点P的坐标为（0，m），点Q点坐标为（3，n）（m＞0）．
由两点间的距离公式可知：
PA=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，QA=$\sqrt{1+{n}^{2}}$，PQ=$\sqrt{9+（n-m）^{2}}$．
根据已知得：$\left\{\begin{array}{l}{PA=QA}\\{P{Q}^{2}=P{A}^{2}+Q{A}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{4+{m}^{2}}=\sqrt{1+{n}^{2}}}\\{9+（n-m）^{2}=4+{m}^{2}+1+{n}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$（舍去）．
故y轴正半轴上存在点P，使△APQ为等腰直角三角形，点P的坐标为（0，1）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是根据已知得出关于m、n的二元二次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出点的坐标，根据等腰直角三角的性质列出关于未知数的方程（或方程组）是关键．