Question

1．△BCD中，BC=CD，∠BCD=90°，点Q为BD上一点，M、N分别为直线BC、CD上一点，且∠MQN=90°．
（1）如图1，若BQ=3DQ，求$\frac{QM}{QN}$的值；
（2）如图2，若DQ=3BQ，QP⊥BD交直线DC于点P，求$\frac{BM}{NP}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据等腰直角三角形的性质的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；
（2）根据余角的性质得到∠NQP=∠MQB，然后根据等腰直角三角形的性质的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论．

解答 解：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠DPQ=∠D=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴$\frac{QM}{QN}=\frac{BQ}{PQ}$，
∵BQ=3DQ，
∴BQ=3PQ，
∴$\frac{QM}{QN}$=$\frac{1}{3}$；

（2）∵QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQD=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠DPQ=∠D=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{BQ}{PQ}$，
∵BQ=$\frac{1}{3}$DQ，
∴BQ=$\frac{1}{3}$PQ，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．