Question

17．在△ABC中，AD为中线，P为AD上任一点，过P的直线交AB于M，交AC于N，AM=AN，若AB≠AC时，求证：$\frac{PM}{PN}$=$\frac{AC}{AB}$．

Answer 1

分析 过P作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过M作MG∥AC交AD于G，EH∥AC交AD于H，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AE}$，$\frac{PE}{BD}=\frac{AP}{AD}=\frac{PF}{CD}$，于是得到$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，PE=PF，根据全等三角形的性质得到HE=AF，等量代换得到$\frac{AC}{AB}=\frac{HE}{AE}$，通过相似三角形得到$\frac{AM}{AE}=\frac{MG}{EH}$，等量代换得到$\frac{AC}{AB}=\frac{MG}{AM}$，再根据相似三角形的性质得到$\frac{MG}{AN}=\frac{MP}{PN}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：过P作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过M作MG∥AC交AD于G，EH∥AC交AD于H，
∴EH∥MG，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AE}$，$\frac{PE}{BD}=\frac{AP}{AD}=\frac{PF}{CD}$，
∵BD=CD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，PE=PF，
在△APF与△EHP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠HAC}\\{∠EPH=∠APF}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△EHP，
∴HE=AF，∴$\frac{AC}{AB}=\frac{HE}{AE}$，
∵EH∥MG，
∴△AMG∽△AEH，
∴$\frac{AM}{AE}=\frac{MG}{EH}$，
即$\frac{EH}{AE}=\frac{MG}{AM}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{MG}{AM}$，
∵MG∥AC，
∴△PMG∽△APN，
∴$\frac{MG}{AN}=\frac{MP}{PN}$，
∵AN=AM，
∴$\frac{MG}{AM}=\frac{MP}{PN}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{AC}{AB}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．