Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，点A的坐标为（-1，0），点 C的坐标为 （0，3），对称轴是x=1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）过顶点M和点C的直线y=kx+g与x轴交于点D，求点D的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在点N，与A、C、D三点构成一个平行四边形？若存在，写出点N的坐标；否则写出理由．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴和A的坐标求得B的坐标，然后根据勾股定理即可求得抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的解析式求得顶点M的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，然后令y=0，即可求得D点的坐标；
（3）求得C点的对称点N的坐标，然后得到CN∥AD，且CN=AD，即可证得四边形ADCN是平行四边形，即可得出在二次函数的图象上是否存在点N，与A、C、D三点构成一个平行四边形．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（-1，0），对称轴是x=1．
∴抛物线与x轴的另一个交点B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点 C（0，3）在抛物线上，
∴3=-3a，
解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∴这个二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
∵C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+g=4}\\{g=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{g=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=kx+g的解析式为y=x+3，
令y=0，求得x=-3，
∴D（-3，0）；
（3）存在，
如图，把y=3代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴点C的对称点N的坐标为（2，3），
∵CN=2，AD=3-1=2，
∴CN=AD，
∵CN∥x轴，
∴CN∥AD，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴在二次函数的图象上是否存在点N，与A、C、D三点构成一个平行四边形，此时N（2，3）．

点评 本题主要考查了二次函数的交点式、抛物线的对称性、平行四边形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式以及数形结合思想的运用是解答此题的关键．