Question

15．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=4$\sqrt{2}$，求点G到BE的距离．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性质得到AB=AD，AE=AG，然后依据SAS可证明△ABE≌△ADG，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．当α=45°时，可证明△AHE为等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面积法可求得点G到BE的距离．

解答 解：（1）由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性质可知：AB=AD，AE=AG．
∵在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴BE=DG．
（2）连接GE、BG，延长AD交GE与H．

当α=45°时，则∠BAD=45°．
∵∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠EAH=∠GAH=45°．
又∵AE=AG，
∴AH⊥GE．
又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，
∴△AHE为等腰直角三角形．
∴EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=4．
∴EG=2EH=8．
∴S_△BEG=$\frac{1}{2}$EG•AH=$\frac{1}{2}$×8×4=16．
设点G到BE的距离为h．
S_△BEG=$\frac{1}{2}$EB•h=16，即$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$h=16，解得h=4$\sqrt{2}$．
∴点G到BE的距离为4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质，面积法的应用是解题的关键．