Question

10．如图，△ABC中，AB=AC=8，D在AB上，E在AB的延长线上，∠ECB=∠DCB，AE=12．
（1）求证：△ADC∽△ACE；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ECB=∠DCB，
∴∠ACB-∠DCB=∠ABC-∠ECB，
∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠AEC=∠ABC-∠ECB，
∴∠ACD=∠AEC，
∵∠A=∠A，
∴△ADC～△ACE；
（2）∵△ADC～△ACE，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∴$AD=\frac{A{C}^{2}}{AE}=\frac{{8}^{2}}{12}=\frac{16}{3}$，
∴BD=AB-AD=$8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$．

点评 此题考查相似三角形的判定和性质问题，关键是根据相似三角形的判定证明．