Question

11．如图，点O为等边△ABC内一点，OA=2$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{15}$，连接BO并延长交AC于点D．若∠DOC=30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，则AF=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 在FC上截取FN=FB，得到△BFM是等边三角形，根据全等三角形的性质得到∠FAB=∠CMB，求得∠AFC=∠ABC=60°，设BF=FM=x，作OH⊥AC于H，解直角三角形得到即可得到结论．

解答 解：在FC上截取FN=FB，
∵∠BFM=60°，
∴△BFM是等边三角形，
在△AFB与△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠FBM=∠MBC}\\{FB=MB}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CMB，
∴∠FAB=∠CMB，
∴∠AFC=∠ABC=60°，
设BF=FM=x，
∵∠FOB=∠DOC=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$FO，FO=2x，MC=AF=x+$\sqrt{15}$，
作OH⊥AC于H，则FH=$\frac{1}{2}$OF=x，AH=$\sqrt{15}$，
∵AO=2$\sqrt{5}$，
∴OH=$\sqrt{5}$，FH=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{15}$=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．