Question

如图甲，二次函数y=ax²+bx+5图象的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数图象顶点Q的坐标；
（2）如图乙，若点D是第一象限该函数图象上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限函数图象上的所有点中，该函数图象的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”，这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=ax²+bx+5中即可确定a、b的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；
（2）①设D（t，-t²+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时L=9+2=11＜

45

4

相比较即可得到答案；
②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=ax²+bx+5中，
得

a-b+5=0 25a+5b+5=0

，解得

a=-1 b=4

，
∴二次函数为y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）．

（2）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t²+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，则L=-t²+4t+5+t=-t²+5t+5=-（t-

5

2

）²+

45

4

，
∵a＜0，
∴当t=

5

2

时，L最大值=

45

4

．
而当点D与Q重合时，L=9+2=11＜

45

4

，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，
∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，即OE=BE=2.5．
当x_F=2.5时，y_F=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
当x_D=2.5时，yD=-（2.5-2）2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点的确定方法及有关的几何知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．