Question

如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC上一动点，连接DO并延长交AB于点E，得到的△DOC与△EOA相似．

（1）当O点运动到何处时，△DOC与△EOA的相似比为2？
（2）当O点运动到何处时，△DOC与△EOA全等？
（3）当O点运动到何处时E与B重合？此时△DOC与△EOA的相似比是多少？此时O点继续往C点运动，DO的延长线于BC交于F，且有△DFC∽△EFB，当点F是BC中点时，求△DOC与△EOA的相似比．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据若△DOC与△EOA的相似比为2，则

CO

AO

=2，即可得出当O点运动到

CO

AO

=2处时，△DOC与△EOA的相似比为2，
（2）若△DOC与△EOA全等，则AO=CO，根据∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，证出△DOC≌△EOA，即可得出当O点运动到AC的中点处时，△DOC与△EOA全等；
（3）当E与B重合时，△DOC与△EOA全等，AO=CO，当O点运动到AC的中点处时，E与B重合，此时△DOC与△EOA的相似比是1，当点F是BC中点时，则BF=CF，再根据∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，证出△DOC≌△EOA从而得出AB=DC=BE，最后求出

DC

AE

=

1

2

，即可得出△DOC与△EOA的相似比．

解答：解：（1）∵若△DOC与△EOA的相似比为2，则

CO

AO

=2，
∴当O点运动到

CO

AO

=2处时，△DOC与△EOA的相似比为2；
（2）若△DOC与△EOA全等，则AO=CO，
∵AB∥CD，
∴∠CDO=∠AEO，∠DCO=∠EAO，
在△DOC与△EOA中，

∠CDO=∠AEO ∠DCO=∠EAO AO=CO

∴△DOC≌△EOA，
∴当O点运动到AC的中点处时，△DOC与△EOA全等；
（3）∵当E与B重合时，△DOC与△EOA全等，
∴AO=CO，
∴当O点运动到AC的中点处时，E与B重合，
此时△DOC与△EOA的相似比是1，
当点F是BC中点时，则BF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠BEF，∠DCF=∠EBF，
在△DOC和△EOA中

∠CDF=∠BEF ∠DCF=∠EBF BF=CF

，
∴△DOC≌△EOA，
∴DC=BE，
∴AB=DC=BE，
∴

DC

AE

=

1

2

，
∴△DOC与△EOA的相似比=

DC

AE

=

1

2

．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，关键是综合运用有关性质求出对应线段的比．