Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
（1）求证：CF=EB；    
（2）若AC=8，CD=4，求四边形AFDB的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质，可得DE与CD的关系，根据HL，可得△BDE与△FDC间的关系，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得EB的长，根据根据勾股定理，可得FD的长，再根据面积的和差，可得答案．

解答：（1）证明：∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
∴CD=DE．
在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=DE DF=BD

，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
（2）设BE的长是x，
∵∠B=∠B，∠BED=∠BCA，
∴△BED∽△BCA，
∴

BE

BC

=

DE

AC

x

4+ x2+42

=

4

8

，
解得x=

16

3

，CF=EB=

16

3

BC=4+

( 16 3 )2+42

=

42×(42+32) 32

+4=

32

3

，
S_{四边形AFDB}=S_△ABC-S_△CFD
=

1

2

AC•BC-

1

2

CF•CD
=

1

2

×8×

32

3

-

1

2

×

16

3

×4
=32

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，面积的和差．