Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，△ABD为等腰直角三角形，AC=AB，AC与BD相交于E点，CF⊥AB于点F，交BD于G点，下列结论：（1）BE=BC；（2）BC=

2

CD；（3）CE=2BF；正确的有哪几个？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,梯形

专题：

分析：过点D作DH⊥AB于H，得到四边形CDHF是矩形，根据矩形的对边相等可得CF=DH，根据等腰直角三角形的性质可得DH=

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AB，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠BAC=30°，再求出∠BCE=∠BEC=75°，根据等角对等边可得BE=BC，判断出（1）正确；过点C作CK⊥BD于K，判断出△CDK为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CK=

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CD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC=CK，然后整理判断出（2）正确；过点B作BM⊥CE于M，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=2CM，再求出∠CBM=∠BCF=15°，利用“角角边”证明△BCM和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CM，然后判断出（3）正确．

解答：解：如图，过点D作DH⊥AB于H，∵CD∥AB，CF⊥AB，
∴四边形CDHF是矩形，
∴CF=DH，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴DH=

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2

AB，
∵AB=AC，
∴CF=

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AC，
∴∠BAC=30°，
∴∠BCE=

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2

（180°-30°）=75°，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABD=30°+45°=75°，
∴∠BCE=∠BEC=75°，
∴BE=BC，故（1）正确；
过点C作CK⊥BD于K，
∵CD∥AB，
∴∠CDK=∠ABD=45°，
∴△CDK为等腰直角三角形，
∴CK=

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CD，
∵∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-45°=30°，
∴BC=2CK，
∴BC=2×

2

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CD=

2

CD，故（2）正确；
过点B作BM⊥CE于M，
∵BC=BE，∠CBD=30°，
∴CE=2CM，∠CBM=15°，
∵∠BCF=90°-∠ABC=90°-75°=15°，
∴∠CBM=∠BCF=15°，
在△BCM和△CBF中，

∠CBM=∠BCF ∠BFC=∠CMB=90° BC=CB

，
∴△BCM≌△CBF（AAS），
∴BF=CM，
∴CE=2BF，故（3）正确．
综上所述，正确的是（1）（2）（3）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角梯形，难点在于作辅助线，构造出矩形，等腰三角形和全等三角形．