Question

7．如图，等腰△ABC中，AB=CB，M为ABC内一点，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°
（1）求证：△ABM为等腰三角形；
（2）求∠BMC的度数．

Answer 1

分析 （1）以AC为边作等边三角形ACE，使B、E在AC的同侧，连接BE，根据等边三角形性质得出AE=CE，∠AEC=60°，设∠MCB=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，根据SSS推出△ABE≌△CBE，根据全等得出∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，∠BAE=∠BCE，求出∠BAE=∠MAC，根据ASA推出△ABE≌△AMC，根据全等三角形的性质得出AB=AM即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠BAC=∠BCA=30°+θ，求出∠BAM=2θ，求出α=90°-θ，β=30°-θ，根据三角形的内角和定理求出即可．

解答 （1）证明：如图：

以AC为边作等边三角形ACE，使B、E在AC的同侧，连接BE，
则AE=CE，∠AEC=60°，
设∠MCB=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{BE=BE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，∠BAE=∠BCE，
∵∠BAE=∠BCE=∠ECA-（∠BCM+∠MCA）=30°-θ=∠MAC，
在△ABE和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ACM}\\{AE=AC}\\{∠BAE=∠CAM}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AMC（ASA），
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰三角形；

（2）解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°+θ，
∵∠MAC=30°-θ，
∴∠BAM=（30°+θ）-（30°-θ）=2θ，
∵AB=AM，
∴∠ABM=∠AMB=α，
∴α=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAM）=90°-θ，
∴β=180°-∠BAC-∠BCA-α=30°-θ，
∴∠BMC=180°-β-θ=150°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合比较强，难度偏大．