Question

16．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，则m的值为$\frac{24}{41}$．

Answer 1

分析 作点C关于x轴的对称点E，连接ED于x轴交于点M，则点M即为所求，根据两点之间线段最短，从而可以解答本题．

解答 解：∵抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$，
∴将x=0代入抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$得，y=-2；抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$．
∵抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$与y轴交于C点，顶点为D点，
∴点C的坐标为（0，-2），点D的坐标为（$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$）．
∵点M（m，0）是x轴上的一个动点，
如下图所示：

作点C关于x轴的对称点点E，连接DE与x轴交于点M，则点M即为所求．
设过点E（0，2）D（$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$）的直线的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$
解得，$a=-\frac{41}{12}$，b=2．
∴$y=-\frac{41}{12}x+2$．
令y=0，则$0=-\frac{41}{12}x+2$，得x=$\frac{24}{41}$．
∴当MC+MD的值最小时，则m的值为$\frac{24}{41}$．
故答案为：$\frac{24}{41}$．

点评 本题考查轴对称--最短路径问题、求直线的解析式，关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化．