Question

19．（1）阅读理解：
如图1，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．
思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程．
（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，BE=5，CF=4，求EF的大小．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=60°，根据旋转得出△ACP′≌△ABP，求出PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，求出∠P′AP=∠BAC=60°，推出△PAP′是等边三角形，求出PP′=P′A=3，根据勾股定理的逆定理求出∠PP′C=90°，即可得出答案；
（2）根据旋转得出△ACE′≌△ABE，根据全等得出AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，求出∠FAE′=∠EAF，根据全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F，推出FE=FE′，根据勾股定理求出E′F即可．

解答
解：（1）∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如图1，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，
则△ACP′≌△ABP，
∴PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，
∴∠P′AP=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴PP′=P′A=3，
在△PP′C中，PP^'2+P′C²=9+15=25=PC²，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=60°+90°=150°；

（2）将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处，
则△ACE′≌△ABE，
∴AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∠FAE′=∠E′AC+∠FAC=∠BAE+∠FAC=45°=∠EAF，
在△AEF和△AE′F中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F，
∴FE=FE′，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CA=∠B=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
在Rt△E′FC中，E′C²+FC²=E′F²，
∴EF²=BE²+CF²=5²+4²=41，
∴EF=$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似．