Question

3．如图，在?ABCD中，AD=2AB，CM⊥AD，CN⊥AB，垂足分别为M、N，连接MN，ND．则下列结论一定正确的是①②③④．（请将序号在填在横线上）
①CN=2CM；
②∠NAD=∠NCM；
③S_△NCD=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}；
④AM²-AN²=3CM²．

Answer 1

分析 连接AC，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，通过△BCN∽△CDM，得到$\frac{CN}{CM}=\frac{BC}{CD}$=2，于是得到CN=2CM；故①正确；根据平行线的性质得到∠NAD=∠B，ACM=∠CMD=90°由余角的性质得到∠B=∠MCN，等量代换得到∠NAD=∠NCM，故②正确；根据三角形的面积和平行四边形的面积即可得到S_△NCD=$\frac{1}{2}$CD•CN=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，故③正确；根据勾股定理即可得到AM²-AN²=3CM²．故④正确．

解答 解：连接AC，
在?ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，
∵AD=2AB，
∴BC=2CD，
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC=∠CMD=90°，
∴△BCN∽△CDM，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{BC}{CD}$=2，
∴CN=2CM；故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠NAD=∠B，ACM=∠CMD=90°
∵∠B+∠BCN=∠BCN+∠MCN=90°，
∴∠B=∠MCN，
∴∠NAD=∠NCM，故②正确；
∵S_△NCD=$\frac{1}{2}$CD•CN=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，故③正确；
在Rt△ACM中，AM²+CM²=AC²，
在Rt△ACN中，AN²+CN²=AC²，
∴AM²-AN²=CN²-CM²，
∵CN=2CM，
∴AM²-AN²=3CM²．故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．