Question

6．已知△ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D．
求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．

Answer 1

分析 作DF∥AC交AE于F，如图，由AD是△ABC外角∠EAC的平分线得到∠1=∠2，由AC∥DF得∠2=∠3，则∠1=∠3，所以FA=FD，再根据平行线分线段成比例，
由AC∥DF得到$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{BD}$，$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{CD}$，利用比例的性质得到AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，所以AC•BD=AB•CD，然后根据比例性质即可得到结论．

解答 证明：作DF∥AC交AE于F，如图，

∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AC∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴FA=FD，
∵AC∥DF，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{BD}$，$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{CD}$，
∴AC•BD=DF•BC，AB•CD=AF•BC，
而FA=FD，
∴AC•BD=AB•CD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．