Question

15．课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图2：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F作MN∥CD．
分析思路：
（1）欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
（2）由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
（3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；
（5）从而可求∠EFG的度数．
请你选择乙同学或丙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路．

Answer 1

分析 选择乙同学所画的图形：过点P作PN∥EF交AB于点N，再由平行线的性质得出∠EFG=∠NPG，根据∠1的度数得出∠2的度数，根据EF⊥AB得出∠2=90°，再由PN∥EF，AB∥CD即可得出结论．

解答 解：方法一，选择乙同学所画的图形：
辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；
（2）欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数；
（3）又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°；
（5）由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4，
所以可得∠2的度数；
（6）从而可以求出∠EFG的度数．
方法二，选择丙同学所画的图形：
辅助线：过点O作ON∥FG交CD于点N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠EON，
因此只需转化为求∠EON的度数；
（2）欲求∠EON的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
（3）由已知EF⊥AB，可得∠3=90°；
（4）由AB∥CD，可推出∠2=∠4，由ON∥FG可推出∠4=∠1，由此可推∠2=∠1，又已知∠1的度数可求出∠2的度数； 
（5）从而可求∠EFG的度数．

点评 本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．