Question

12．如图，等边△ABC中，AD=$\frac{1}{3}$AC，E为AB中点，求证：BD=2ED．

Answer 1

分析 过E作EM∥AC交BD于N，BC于M，根据已知条件得到△ADE∽△CDB，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠CDB，根据平行线的性质得到∠ADE=∠DEN，∠CDB=∠DNE，等量代换得到∠DEN=∠DNE，根据等腰三角形的判定得到DE=DN，于是得到结论．

解答 证明：过E作EM∥AC交BD于N，BC于M，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，BN-DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=2AE，
∵AD=$\frac{1}{3}$AC，
∴CD=2AD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{BC}$，
∵∠A=∠C=60°，
∴△ADE∽△CDB，
∴∠ADE=∠CDB，
∵EM∥AC，
∴∠ADE=∠DEN，∠CDB=∠DNE，
∴∠DEN=∠DNE，
∴DE=DN，
∴BD=2ED．

点评 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．