Question

2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，斜边BC=20，点D，E分别是AB，AC的中点，M是BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，DN与ME相交于点O，若△OMN是直角三角形，则MN的长是2或$\frac{49}{12}$．

Answer 1

分析 如图作DN₁⊥BC于N₁交EM于O₁，作EH⊥BC于H．则四边形DEHN₁是矩形．求出MN₁即可；作DN₂⊥EM交EM于O₂，交BC于N₂，此时△MN₂O₂是直角三角形，求出MN₂即可；

解答 解：如图作DN₁⊥BC于N₁交EM于O₁，作EH⊥BC于H．则四边形DEHN₁是矩形．
∵BC=20，AD=DB，AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=10，易知EH=CH=BN₁=DN₁=5，
∵BM=3，
∴MN₁=BN₁-BM=5-3=2，
∴当MN₁=2时，△MN₁O₁是直角三角形．
作DN₂⊥EM交EM于O₂，交BC于N₂，此时△MN₂O₂是直角三角形，
∵△DN₁N₂∽△MHE，
∴$\frac{D{N}_{1}}{MH}$=$\frac{{N}_{1}{N}_{2}}{EH}$，
∴N₁N₂=$\frac{25}{12}$，
∴MN₂=2+$\frac{25}{12}$=$\frac{49}{12}$．
∴当MN=2或$\frac{49}{12}$时，△MNO是直角三角形．
故答案为2或$\frac{49}{12}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．