Question

7．如图：在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，AD∥BC，AD交BE的延长线于D，EF平分∠AED，若AB=8，AF=3，AE：ED=AF：FD，则CE=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥BD于H，FM⊥BD于M，FN⊥EA于N．由AE：ED=AF：FD=3：5，可以假设AE=3m，DE=5m，由AE：EC=DE：BE，推出EC：BE=AE：DE=3：5，可以假设EC=3n，BE=5n，得3m+3n=8，推出m+n=$\frac{8}{3}$，所以BD=5m+5n=$\frac{40}{3}$，由FM∥AH，得$\frac{FM}{AH}$=$\frac{DM}{DH}$=$\frac{DF}{DA}$=$\frac{5}{8}$，求出FM=FN=$\frac{5}{6}$$\sqrt{11}$，DM=$\frac{25}{6}$，在Rt△ANF中，利用勾股定理求出AN，再证明EN=EM，设EN=EM=x，由AE：DE=3：5，可得（$\frac{7}{6}$+x）：（x+$\frac{25}{6}$）=3：5，解方程求出x即可解决问题．

解答 解：如图，作AH⊥BD于H，FM⊥BD于M，FN⊥EA于N．

∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠ABD=∠D，
∴AD=AB=8，∵AF=3，
∴DF=5，
∵AE：ED=AF：FD=3：5，可以假设AE=3m，DE=5m，
∵AE：EC=DE：BE，
∴EC：BE=AE：DE=3：5，可以假设EC=3n，BE=5n，
∴3m+3n=8，
∴m+n=$\frac{8}{3}$，
∴BD=5m+5n=$\frac{40}{3}$，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BH=DH=$\frac{20}{3}$，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{11}}{3}$，
∵FM∥AH，
∴$\frac{FM}{AH}$=$\frac{DM}{DH}$=$\frac{DF}{DA}$=$\frac{5}{8}$，
∴FM=FN=$\frac{5}{6}$$\sqrt{11}$，DM=$\frac{25}{6}$，
在Rt△ANF中，AN=$\sqrt{A{F}^{2}-F{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{6}\sqrt{11}）^{2}}$=$\frac{7}{6}$，
在△EFN和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{FN=FM}\end{array}\right.$，
∴△EFN≌△EFM，
∴EN=EM，设EN=EM=x，
∵AE：DE=3：5，
∴（$\frac{7}{6}$+x）：（x+$\frac{25}{6}$）=3：5，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴AE=AN+EN=$\frac{7}{6}$+$\frac{10}{3}$=$\frac{9}{2}$，
∴EC=AC-AE=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．