Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（m，0）是x轴上一点，m＞0，C在第一象限，且BC⊥AB，BC=AB，连接AC．
（1）当∠CAO=105° 时，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$；
（2）求C的坐标；（用含m的式子表示）
（3）作∠CAB的平分线AD，M在射线AD上，N在边AC上，且CM+MN的值最小，试确定M、N的位置，并求出当m=3时，CM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据△ABC是等腰直角三角形，以及∠CAO=105°，求得∠BAO=60°，再根据∠ABO=30°，以及A（0，2），求得△ABC的面积即可；
（2）先过C作CE⊥x轴于E，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，即可得出BE=AO=2，CE=BO=m，OE=2+m，据此得出C的坐标为（2+m，m）；
（3）先作点N关于AD的对称点N'，连接MN，MN'，根据轴对称的性质得出MN=MN'，再根据当点C、M、N'在同一直线上，且CN'⊥AB时，CN'最短，得出点N'与点B重合，点M为BC与AD的交点，最后根据OB=3，AO=2，在Rt△AOB中，求得AB=$\sqrt{13}$=CB，即可得出CM+MN的最小值为$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）如图a，∵BC⊥AB，BC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAO=105°，
∴∠BAO=105°-45°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵A（0，2），
∴AO=2，AB=4，
∴由勾股定理可得OB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$；

（2）如图a，过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB=∠BOA=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠ABO}\\{∠CEB=∠BOA}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
又∵点A（0，2），点B（m，0），
∴BE=AO=2，CE=BO=m，
∴OE=2+m，
∴C的坐标为（2+m，m）；

（3）∵M在射线AD上，N在边AC上，AD是∠CAB的平分线，
∴点N关于AD的对称点在AB上，
如图b，作点N关于AD的对称点N'，连接MN，MN'，则MN=MN'，
∴CM+MB=CM+MN'，
当点C、M、N'在同一直线上，且CN'⊥AB时，CN'最短，
∵CB⊥AB，
∴此时，点N'与点B重合，点M为BC与AD的交点，
当m=3时，OB=3，AO=2，
∴Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CB=$\sqrt{13}$，即CN'=$\sqrt{13}$，
∴CM+MN的最小值为$\sqrt{13}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，根据垂线段最短，确定出点M、N的位置是解题的关键．最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．