Question

3．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品可获总利润是y元，其中A种产品的生产件数是x．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）符合题意的生产方案有几种？请你帮忙设计出来；
（3）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据总利润=A种产品的利润+B种产品的利润即可计算．
（2）列出不等式组即可解决问题．
（3）利用一次函数的增减性，即可解决问题．

解答 解：（1）∵A种产品的生产件数是x，B种产品的生产件数是（50-x），
由题意：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000．
（2）由题意：$\left\{\begin{array}{l}{9x+4（50-x）≤360}\\{3x+10（50-x）≤290}\end{array}\right.$解得30≤x≤32，
∵x为众数，
∴x=30，31，32．
∴生产方案有3种：
方案1：A种产品：30件，B种产品20件．
方案2：A种产品：31件，B种产品19件．
方案3：A种产品：32件，B种产品18件．
（3）在y=-500x+60000中，
∵-500＜0，
∴y随x增加而减小，
∴x=30时，y有最大值=-500×30+60000=45000元．

点评 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式解决实际问题，学会利用一次函数的增减性解决最值问题，属于中考常考题型．