Question

15．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E．
（1）当点D与点C重合时，求PB的长；
（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到AC=$\frac{1}{2}$AB，根据等腰三角形的性质得到∠PCB=∠B=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到结论；
（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，求得∠PDA=90°，根据直角三角形的性质得到PD=$\frac{1}{2}$AP，解方程得到x=$\frac{4}{3}$；②如图3，当点E在AC边上时，根据直角三角形的性质得到AP=$\frac{1}{2}$PD．解方程得到x=$\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）如图1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=2，
∴AB=4，
∵以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，点D与点C重合，
∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠APC=∠ACD=60°，
∴AP=AC=2，
∴BP=2；

（2）∵PD=PB，∠ABC=30°，
∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEP=60°，
∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4-x，y=2-x．（0＜x＜2）；

（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，连接AD，
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD＜60°，
∴∠PDA=90°，
∴∠PAD=30°．
∴PD=$\frac{1}{2}$AP，
即x=$\frac{1}{2}$（4-x），
∴x=$\frac{4}{3}$；
②如图3，当点E在AC边上时，连接AD
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP＜60°，
∴∠PAD=90°，
∴∠PDA=30°．
∴AP=$\frac{1}{2}$PD．即4-x=$\frac{1}{2}$x，
∴x=$\frac{8}{3}$．
综上所述：当PB的长是$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时，△PAD是直角三角形．

点评 本题考查了直角三角形的判定和性质，圆的性质，求函数的解析式，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．