Question

6．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、D两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先证明△FHG是等腰直角三角形，构建二次函数利用函数性质解决问题即可．
（3）分两种情形①如图2中，若AP为对角线，利用相似三角形性质求出点T坐标．②如图3中，若AQ为对角线，利用相似三角形性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A坐标（-1，0），点B坐标（3，0），点C坐标（0，3），
∵抛物线对称轴x=1，D、C关于对称轴对称，
∴点D坐标（2，3），设直线AD为y=kx+b．则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴直线AD解析式为：y=x+1．
（2）如图1中，

∵OA=OE=1，
∴∠EAO=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHA=∠EAO=45°，
∵FG⊥AH，
∴△FGH是等腰直角三角形，
设点F坐标（m，-m²+2m+3），
∴点H坐标（-m²+2m+2，-m²+2m+3），
∴FH=-m²+m+2，
∴△FGH的周长=（-m²+m+2）+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+m+2）=-（1+$\sqrt{2}$）（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$
∴△FGH的周长最大值为$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$．

（3）①如图2中，若AP为对角线

作PS⊥对称轴于于S，对称轴与x轴的交点为R，
∵∠PMS+∠MPS=90°，∠PMS+∠AMR=90°，
∴∠MPS=∠AMR，∵∠PSM=∠MRA，
∴△PMS∽△MAR可得$\frac{PS}{MR}$=$\frac{SM}{AR}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{SM}{2}$，
∴SM=$\frac{1}{2}$，
∴点P坐标（0，$\frac{9}{2}$）
由点的平移可知Q（-2，$\frac{1}{2}$）
故Q点关于直线AM的对称点T为（0，-$\frac{1}{2}$）．
②如图3中，若AQ为对角线，

作AR∥y轴，MR∥x轴，AS∥y轴，PS∥AB，
同理可证△ARM∽△PSA，
∴$\frac{AR}{PS}$=$\frac{RM}{AS}$，
∴AS=$\frac{1}{2}$
∴点P坐标（0，-$\frac{1}{2}$），
由点的平移可知Q（2，$\frac{7}{2}$），
故Q点关于直线AM的对称点T为（0，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数、矩形的性质、平移、对称等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造相似三角形，属于中考压轴题．