Question

20．已知正方形ABCD，在这个正方形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是1或3或5或7．

Answer 1

分析 利用两平行直线之间的距离可作作1₁∥AB，l₂∥AB，且1₁和l₂到AB的距离为1，作1₃∥BC，l₄∥BC，且1₃和l₄到BC的距离为2，如图，讨论：若P₁F=4，则HF=4+1=5，所以MQ=AB=BC=HF=5，于是得到P₁M=MQ-P₁Q=3；同理可得P₃M=7；若P₂F=4，则HF=3，所以EN=AB=BC=HF=3，则P₂E=EN-P₂N=3-2=1；同理可得P₄E=5．

解答 解：如图，作1₁∥AB，l₂∥AB，且1₁和l₂到AB的距离为1，作1₃∥BC，l₄∥BC，且1₃和l₄到BC的距离为2，4条直线相交于P₁，P₂，P₃，P₄，
若1₂到CD的距离为4，则P₁F=4，
∵P₁H=1，P₁Q=2，
∴HF=4+1=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MQ=AB=BC=HF=5，
∴P₁M=MQ-P₁Q=5-2=3；
同理可得P₃M=7，
若1₁到CD的距离为4，则P₂F=4，
∵P₂H=1，P₁N=2，
∴HF=4-1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN=AB=BC=HF=3，
∴P₂E=EN-P₂N=3-2=1；
同理可得P₄E=5，
综上所述，点P到DA的距离为1或3或5或7．
故答案为1或3或5或7．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了分类讨论思想的应用．