Question

10．在直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）用含t的式子表示PB²，BQ²，PQ²；
（3）当t为何值时，∠PQB为直角？

Answer 1

分析 （1）由四边形OABC为矩形，得到∠AOC与∠OAB都为直角，再由OD为角平分线，得到∠AOD=∠DOQ=45°，在等腰直角三角形AOD中，根据AO与AD求出OD的长，即可求出t的值；
（2）如图1，作PG垂直OC，在等腰直角三角形POG中，求出∠OPG的度数，根据OP表示出OG与PG，进而表示出P的坐标，再由Q与B的坐标，利用两点间的距离公式表示PB²，BQ²，PQ²即可；
（3）若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2；
（2）如图1，作PG⊥OC于点G，

在Rt△POG中，∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=$\sqrt{2}$t，∴OG=PG=t，
∴点P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²；
（3）若∠PQB=90°，则有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
∴当t=2，∠PQB为直角．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及一元二次方程的解法，熟练掌握四边形的性质是解本题的关键．