Question

4．已知：如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，将△BOC绕点C顺时针旋转使CB与CA重合，得到△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）若∠BOC=150°，试判断△AOD是什么特殊三角形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）与等边三角形的性质得出∠ACB=60°，由旋转的性质得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出∠COD=∠CDO=60°，由旋转的性质得出∠ADC=∠BOC=150°，证出∠ADO=90°，再证出∠AOD=∠OAD，得出AD=OD，即可得出△AOD是等腰直角三角形．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△ADC是由△BOC绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△DOC是等边三角形；
（2）△AOD是等腰直角三角形；理由如下：
∵△DOC是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°，
由旋转的性质得：∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，∠AOD=360°-150°-105°-60°=45°，∠OAD=90°-45°=45°，
∴∠AOD=∠OAD，
∴AD=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形．

点评 本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．