Question

16．如图，平移直线y=-x，平移后的直线与双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）有唯一的公共点A与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于点B，与y轴交于点C，若y轴平分△AOB的面积，求k的值．

Answer 1

分析 设平移后的直线解析式为：y=-x+b，根据一元二次方程根的判别式求出b的值，解方程组求出点A的坐标，根据题意确定点B的坐标，利用待定系数法求解即可．

解答 解：设平移后的直线解析式为：y=-x+b，
由题意得，方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$有一个公共解，
则x²-bx+1=0有两个相等的实数根，
则b²-4=0，
解得，b₁=2，b₂=-2（舍去），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则点A的坐标为（1，1），
∵y轴平分△AOB的面积，
∴BC=AC，
则点B的坐标为（-1，3），
∴3=$\frac{k}{-1}$，
解得，k=-3．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及一元二次方程方程根的判别式的应用，求得A、B的坐标是解题的关键．