Question

9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2x²+（m+9）x-6的对称轴是x=2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线y=-2x²+（m+9）x-6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C） 记为图象M．将直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围0＜b≤$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；
（3）根据图象即可写出b的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=-2x²+（m+9）x-6的对称轴是x=2，
∴$-\frac{m+9}{2×（-2）}=2$．
∴m=-1． 
∴抛物线的表达式为y=-2x²+8x-6．
∴y=-2（x-2）²+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=-2（x-3）²+2，
∵-2（x-2）²=-2（x-3）²，
∴$x=\frac{5}{2}$．
∴A（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）点A坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则点B的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y=2x-2-b，
故$\frac{3}{2}$=7-2-b，
解得b=$\frac{7}{2}$，
平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则$0＜b≤\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．