Question

13．已知：二次函数y₁=x²+bx+c的图象经过A（-1，0），B（0，-3）两点．
（1）求y₁的表达式及抛物线的顶点坐标；
（2）点C（4，m）在抛物线上，直线y₂=kx+b（k≠0）经过A，C两点，当y₁＞y₂时，求自变量x的取值范围；
（3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（0，-3）两点代入y₁得求出b和c的值即可；
（2）根据图象即可得到当y₁＞y₂时，求自变量x的取值范围；
（3）设直线AC平移后的表达式为y=x+k，使x²-2x-3=x+k，根据△=0，求出k的值即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（0，-3）两点代入y₁得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
即y₁=x²-2x-3，
顶点坐标（1，-4），
（2）把C（4，m）代入y₁，
m=5，所以C（4，5），
把A、C两点代入y₂得：y₂=x+1，
如图所示：x的取值范围：x＜-1或x＞4，
（3）设直线AC平移后的表达式为y=x+k
得：x²-2x-3=x+k，
令△=0，
解得k=-$\frac{21}{4}$，
 所以平移后直线的表达式：y=x-$\frac{21}{4}$．

点评 本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数与不等式的知识，解题的关键是正确求出一次函数和二次函数的解析式，此题难度不大．