Question

△ABC是⊙O的内接三角形；
（1）如图1，若BC=4

2

，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半径．
（2）如图2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度数及⊙O的半径．
（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，BE是AC边上的高，连结BO．
①请证明：∠CBE=∠ABO；
②若AB=7，BC=6，AC=8，请求出⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,勾股定理,圆周角定理

专题：计算题

分析：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质得CH=BH=

2

2

BC=4，则AH=AC-CH=3，接着在Rt△ABH中利用勾股定理计算出AB=5，然后根据圆周角定理，由BD为直径得到∠BAD=90°，∠D=∠ACB=45°，则可判断△ABD为等腰直角三角形，所BD=

2

AB=5

2

，即可得到⊙O的半径为

5 2

2

；
（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，利用勾股定理得到a²+b²=5²①，（8-a）²+b²=7²②，利用①-②可解得a=

5

2

，在Rt△BCH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠CBH=30°，则∠C=60°，再根据圆周角定理得到∠BAD=90°，∠D=∠ACB=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD=

3

3

AB=

7 3

3

，BD=2AD=

14 3

3

，即可得到⊙O的半径为

7 3

3

；
（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，先利用垂直定义，由BE⊥AC得到∠CBE+∠C=90°，而∠BAD=90°，∠D=∠ACB，易得∠CBE=∠ABO；
②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，利用勾股定理得a²+b²=6²①，（8-a）²+b²=7²②，利用①-②可解得a=

51

16

，接着在Rt△BCE中，利用勾股定理计算出BE=

21 15

16

，然后证明Rt△ABD∽Rt△EBC，利用相似比可计算出AD，从而得到⊙O的半径．

解答：解：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，
在Rt△BCH中，CH=BH=

2

2

BC=

2

2

•4

2

=4，
∴AH=AC-CH=7-4=3，
在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=5，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠D=∠ACB=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=

2

AB=5

2

，
∴⊙O的半径为

5 2

2

；
（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，
设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，
在Rt△BCH中，a²+b²=5²①，
在Rt△BAH中，（8-a）²+b²=7²②，
①-②得-64+16a=-24，解得a=

5

2

，
在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=

5

2

，
∴∠CBH=30°，
∴∠C=60°，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠D=∠ACB=60°，
∴AD=

3

3

AB=

7 3

3

，
∴BD=2AD=

14 3

3

∴⊙O的半径为

7 3

3

；
（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵∠D=∠ACB，
∴∠CBE=∠ABO；
②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，
在Rt△BCE中，a²+b²=6²①，
在Rt△BAE中，（8-a）²+b²=7²②，
①-②得-64+16a=-13，解得a=

51

16

，
在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=

51

16

，
∴BE=

BC2-CE2

=

21 15

16

，
∵∠CBE=∠ABD，
∴Rt△ABD∽Rt△EBC，
∴

AD

BC

=

AB

AE

，
∴AD=

6×7

21 15 16

=

32 15

15

，
∴⊙O的半径为

16 15

15

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．