Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，tanA=$\frac{3}{4}$，点D在边AB上，AD=4，以BD为直径的⊙O与边AC切于点E．
（1）求0B的长；
（2）过点D作DF∥AC交⊙O于点F，连结BF，求△DFB的周长．

Answer 1

分析 （1）要求OB的长，只要求的⊙O的半径即可，根据在Rt△ABC中，∠B=90°，tanA=$\frac{3}{4}$，AD=4，作辅助线连接OE，则∠AEO=90°，可以求得OE的长，本题得以解决；
（2）根据DF∥AC，可以得到∠EDB=∠A，然后根据第一问求得的OB的长和tanA=$\frac{3}{4}$，可以分别求得△DFB的各边的长，从而可以求得△DFB的周长．

解答 解：（1）连接OE，如右图所示，
∵以BD为直径的⊙O与边AC切于点E，
∴∠AEO=90°，
∵$tanA=\frac{3}{4}，tanA=\frac{OE}{AE}$，
∴设OE=3a，AE=4a，则AO=$\sqrt{（3a）^{2}+（4a）^{2}}=5a$，
又∵AO=AD+DO，AD=4，DO=OE，
∴5a=4+3a，
解得，a=2，
∴3a=6，
即OE=6，
∵OB=OE，
∴OB=6；
（2）∵BD为⊙O的直径，DF∥AC，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴∠DFB=90°，∠FDB=∠A，BD=2OE=12，
∴tan∠FDB=$\frac{3}{4}$，
设BF=3x，DF=4x，
∴12²=（3x）²+（4x）²
解得x=2.4，
∴3x=7.2，4x=9.6，
∴△DFB的周长是：7.2+9.6+12=28.8，
即△DFB的周长是28.8．

点评 本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．