Question

如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△ACP∽△PDB，可得∠APC=∠B，继而证得△ACP∽△APB，则可求得∠APB的大小．
（2）由△ACP∽△PDB，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等边三角形，即可得CD²=AC•BD．

解答：解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，
∵∠A=∠A，
∴∠ACP∽∠APB，
∴∠APB=∠ACP=120°；

（2）∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD•PC=AC•BD，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，
∴CD²=AC•BD．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．