Question

已知，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，求证：E、F、G、H四点在同一个圆上．

Answer 1

考点：四点共圆,直角三角形斜边上的中线,菱形的性质

专题：证明题

分析：根据菱形的性质可得∠AOD=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=

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AD．同理可得：OE=

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AB，OF=

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BC，OG=

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CD．然后根据菱形的性质可得AD=AB=BC=CD，从而有OH=OE=OF=OG，即可证到E、F、G、H四点在同一个圆上．

解答：证明：如图．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD即∠AOD=90°．
∵H是AD的中点，
∴OH=

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AD．
同理：OE=

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AB，OF=

1

2

BC，OG=

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CD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴OH=OE=OF=OG．
∴E、F、G、H四点在以点O为圆心，OH为半径的圆上，
即E、F、G、H四点在同一个圆上．

点评：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定等知识，本题中要证明四点共圆，找到圆心是关键．