Question

如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的．若BF=AC，∠ABC=40°，则∠CAC′=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：先根据旋转的性质得AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠1=∠3=

1

2

（180°-∠CAC′），∠2=

1

2

（180°-∠BAB′），则∠1=∠2，再利用“AAS”证明△BEF≌△CEA，得到EB=EC，所以∠ECB=∠EBC=40°，则利用互余可计算出∠1=50°，然后根据三角形内角和可计算出∠CAC′．

解答：解：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠1=∠3=

1

2

（180°-∠CAC′），∠2=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠1=∠2，
在△BEF和△CEA中，

∠BEF=∠CEA ∠2=∠1 BF=CA

，
∴△BEF≌△CEA（AAS），
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=40°，
∴∠1=90°-∠ECB=50°，
∴∠CAC′=180°-2∠1=100°．
故答案为100°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．