Question

18．已知△ABC，以BC、AC为边分别向外作正方形BCDE和正方形ACFG，连接FD．如图，求证：S_△ABC=S_△CDF．

Answer 1

分析 过B作BK⊥AB于K，过D作GO⊥CF交CF延长线于H，推出∠BKC=∠H=90°，根据正方形的性质得出AC=FC，BC=DC，∠FCA=∠DCB=90°，求出∠DCH=∠BCK，证△DHC≌△BKC，推出DH=BK，根据三角形面积公式求出即可．

解答 证明：过B作BK⊥AB于K，过D作GO⊥CF交CF延长线于H，

则∠BKC=∠H=90°，
∴∠FCD+∠DCH=180°，
∵四边形ACFG和四边形BCDE是正方形，
∴AC=FC，BC=DC，∠FCA=∠DCB=90°，
∴∠FCD+∠BCK=360°-90°-90°=180°，
∴∠DCH=∠BCK，
在△DHC和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠BKC}\\{∠DCH=∠BCK}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△DHC≌△BKC，
∴DH=BK，
∵AC=FC，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BK$，${S}_{△CDF}=\frac{1}{2}CF•DH$，
∴S_△ABC=S_△CDF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的应用，关键是作辅助线后求出DH=BK．