Question

13．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D为射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于点F．
（1）求证：BF=EF；
（2）猜想四边形ACFE是什么特殊的四边形？并说明理由：
（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在一点G，满足条件DG=$\frac{1}{4}$DA？说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE=$\frac{1}{2}$AB=BC，得出∠CBE=∠CEB，证出∠FBE=∠FEB，即可得出结论；
（2）先证明CF垂直平分BE，证出CF∥AD，得出四边形ACFE是梯形；
（3）假设在线段DE上存在一点G；过G作GH⊥BD于点H，先证出DH=$\frac{1}{4}$BD=$\frac{1}{2}$DF，得出∠EDF=∠GFD=∠DEF，设∠A=x，则∠EDF=∠GFD=∠DEF=90°-x，而∠EDF+∠GFD+∠DEF≤∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°，
∵点C为线段BA的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABM=90°，
∴∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF；
（2）解：四边形ACFE是梯形；
理由如下：由（1）得：CE=BC，BF=EF，
∴点C在BE的垂直平分线上，点F在BE的垂直平分线上，
∴CF垂直平分BE，
∴BE⊥CF，
∵BE⊥AD，
∴CF∥AD，
又∵CF＜AD，
∴四边形ACFE是梯形；
（3）解：30°≤∠A＜90°，假设在线段DE上存在一点G；
过G作GH⊥BD于点H，如图所示：
在Rt△BED中，∠DEF+∠FEB=90°，∠FBE+∠BDE=90°，
∴∠FBE=∠FEB，
∴∠DEF=∠BDE，
∴DF=EF，
∴BF=DF，即F为BD的中点，
∴DH=$\frac{1}{4}$BD=$\frac{1}{2}$DF，
∴∠EDF=∠GFD=∠DEF，
设∠A=x，则∠EDF=∠GFD=∠DEF=90°-x，
而∠EDF+∠GFD+∠DEF≤∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，
∴3（90°-x）≤180°
解得：x≥30°，
故30°≤∠A＜90°．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、梯形的判定以及直角三角形斜边上的中线性质；根据题意弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．