Question

如图1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为AB中点，以P为顶点作直角∠DPE，分别交边BC、AC于点D、E．
（1）求证：PD=PE；
（2）如图2，过B作BM∥AC，再将直角∠DPE绕顶点P旋转，交CB的延长线于D，交BM于E，线段PD与PE仍然相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接CP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PC=PA，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由等腰直角三角形的性质得到一对角相等，进而利用ASA得到三角形DCP与三角形APE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）PD=PE，理由为：连接CP，利用等式的性质得到一对角相等，利用平行线的性质及等腰直角三角形性质得到一对角相等，再有BP=CP，利用ASA得到三角形CPD与三角形BPE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．

解答：（1）证明：连接CP，
∵P为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，
∴CP=AP=BP，∠DCP=∠A=45°，
∵∠DPE=90°，
∴∠DPC+∠CPE=90°，
∵∠CPE+∠APE=90°，
∴∠DPC=∠APE，
在△DCP和△EAP中，

∠DPC=∠APE PC=PA ∠PCD=∠A

，
∴△DCP≌△EAP（ASA），
∴PD=PE；
（2）解：PD=PE，理由为：
证明：连接PC，
∵∵P为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，
∴CP=AP=BP，∠DCP=∠A=45°，
∵BM∥AC，
∴∠EBP=∠A=45°，
∴∠DCP=∠EBP，
∵∠CPB=∠DPE=90°，
∴∠CPB+∠DPB=∠DPE+∠DPB，即∠DPC=∠EPB，
在△DCP和△EBP中，

∠DPC=∠EPB CP=BP ∠DCP=∠EBP

，
∴△DCP≌△EBP（ASA），
∴PD=PE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．