Question

16．计算：$\frac{\sqrt{{2}^{2}-1}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{{3}^{2}-1}}{3-1}$=$\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{{4}^{2}-1}}{4-1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
$\frac{\sqrt{{5}^{2}-1}}{5-1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，…，
观察以上计算结果的变化规律，由此判断P=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n-1}$与Q=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}-1}}{（n+1）-1}$的大小关系是＞．（n为大于1的整数）

Answer 1

分析 先化简各二次根式，然后找出其中的规律，最后依据规律找出其中的答案即可．

解答 解：$\frac{\sqrt{{2}^{2}-1}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{{3}^{2}-1}}{3-1}$=$\frac{\sqrt{9-1}}{2}$=$\frac{\sqrt{8}}{2}$=$\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{{4}^{2}-1}}{4-1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
$\frac{\sqrt{{5}^{2}-1}}{5-1}$=$\frac{\sqrt{24}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
P=$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{（n-1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$，Q=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}-1}{{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$．
$\frac{n+1}{n-1}-\frac{n+2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n-（{n}^{2}+n-2）}{n（n-1）}$=$\frac{2}{n（n-1）}$＞0，
则$\frac{n+1}{n-1}＞\frac{n+2}{n}$．
则$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$＞$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$，即P＞Q．
故答案为；$\sqrt{\sqrt{3}}$；$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{15}}{3}$；$\frac{\sqrt{6}}{2}$；＞．

点评 本题主要考查的是二次根式的化简与计算，比较出$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$与$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$的大小是解题的关键．