Question

3．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA₁、BB₁、CC_l、DD_l，垂足分别为A_l、B₁、C_l、D₁．
（1）求证：AA₁+CC_l=BB₁+DD_l；
（2）如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A_l、B₁、C_l、D₁，那么AA₁、BB₁、CC_l、DD_l之间存在什么关系？
（3）如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A_l、B₁、C_l、D₁，那么AA₁、BB₁、CC_l、DD₁之间又存在什么关系？

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD相交于点O，作OO₁⊥MN于点O₁，根据梯形中位线定理即可得出结论；
（2）连接AC，BD交于点O，过点O作OG⊥MN，垂足为G，延长OG交AC₁的连线于点H，可证明CC₁-AA₁=BB₁+DD₁；
（3）连接AC，BD交于点O，连接DB₁，AC₁，过点O作OG⊥MN，G为垂足，延长OG交DB₁于点K，交AC₁于点H，利用三角形中位线定理可证明CC₁-AA₁=DD₁-BB₁．

解答 （1）证明：如图甲，连接AC，BD相交于点O，作OO₁⊥MN于点O₁，
∵AA₁⊥MN，CC₁⊥MN，
∴AA₁∥CC₁，
∵O是AC的中点，
∴AA₁+CC_l=2OO₁，
同理，BB₁+DD_l=2OO₁，
∴AA₁+CC_l=BB₁+DD_l；

（2）如图乙，连接AC，BD交于点O，过点O作OG⊥MN，垂足为G，延长OG交AC₁的连线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是线段AC的中点也是线段BD的中点．
∵CC₁⊥MN，
∴OH是△ACC₁的中位线，
∴OH=OG+GH=$\frac{1}{2}$CC₁．
同理，GH=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴OG=$\frac{1}{2}$（CC₁-AA₁），即2OG=CC₁-AA₁．
∵DD₁⊥MN，BB₁⊥MN，
∴DD₁∥BB₁，
∴OG是梯形DD₁∥B₁B的中位线，
∴DD₁∥BB₁=2OG，
∴CC₁-AA₁=BB₁+DD₁；

（3）如图丙，连接AC，BD交于点O，连接DB₁，AC₁，过点O作OG⊥MN，G为垂足，延长OG交DB₁于点K，交AC₁于点H，
∵CC₁⊥MN，O是AC的中点，OH⊥MN，
∴OH是△ACC₁的中位线，
∴OH=OG+GH=$\frac{1}{2}$CC₁．
同理，GH=$\frac{1}{2}$AA₁，OK=$\frac{1}{2}$BB₁，GK=OG+OK=$\frac{1}{2}$DD₁，
∴OG=$\frac{1}{2}$CC₁-GH=$\frac{1}{2}$CC₁-$\frac{1}{2}$AA₁，即2OG=CC₁-AA₁．
同理，2OG=DD₁-BB₁，
∴CC₁-AA₁=DD₁-BB₁．

点评 本题考查的是四边形综合题，此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造出梯形及三角形，利用梯形及三角形的中位线定理解答．