Question

抛物线y=x²+（2m+1）x+m²-1，x∈R．
（1）求证：不论m为何值，函数图象顶点都在同一直线L₁上；
（2）求证：任一平行L₁且与抛物线相交的直线，被各抛物线截得的线段长相等．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：证明题

分析：（1）把原抛物线解析式配成顶点式得到抛物线顶点坐标为（-m-

1

2

，-m-

5

4

），由于横纵坐标之差为常数，则可判断点（-m-

1

2

，-m-

5

4

）在直线x-y=

3

4

上，
（2）设与L₁：y=x-

3

4

平行的直线为y=x+b，根据两函数图象的交点问题得到

y=x+b y=x2+(2m+1)x+m2-1

，消去y得x²+2mx+m²-1-b=0，利用根与系数的关系表示出两交点的横坐标之差，再利用直线的性质得到两交点的距离等于两横坐标之差的绝对值的

2

倍，而表示线段长的代数式与m无关，只与b有关，于是可判断任一平行L₁且与抛物线相交的直线，被各抛物线截得的线段长相等．

解答：证明：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²-1
=（x+m+

1

2

）²+m-

5

4

，
∴抛物线顶点坐标为（-m-

1

2

，-m-

5

4

），
∵-m-

1

2

-m+

5

4

=

3

4

∴点（-m-

1

2

，-m-

5

4

）在直线x-y=

3

4

上，
即不论m为何值，函数图象顶点都在同一直线y=x-

3

4

上；
（2）设与L₁：y=x-

3

4

平行的直线为y=x+b，
∴

y=x+b y=x2+(2m+1)x+m2-1

，
∴x²+2mx+m²-1-b=0，
设直线y=x+b与抛物线的交点的横坐标分别为p、q，则p+q=-2m，pq=m²-1-b=0，
∴|p-q|=

(p+q)2-4pq

=

4+4b

=2

b+1

，
∵直线y=x+b与x轴正方向的交角为45°，
∴直线y=x+b被各抛物线截得的线段长为

2

|p-q|=2

2b+2

，
此线段长只与b有关，
∴任一平行L₁且与抛物线相交的直线，被各抛物线截得的线段长相等．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．