题目内容

如图①，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，
（1）求∠MON的大小；
（2）若∠AOB=α，其它条件不变情况下，求∠MON的大小；
（3）若∠BOC=β，其它条件不变情况下，求∠MON的大小；
（4）由（1）、（2）、（3）可知，得出什么结论；                          
（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴方法．小明大胆猜想，如图②，设线段AB=a．延长AB到C，使BC=b，点M和N分别为AC和BC的中点，则MN的长为
a
2
，而与BC的长度变化无关，请你证明小明发现的结论．
考点：角的计算,角平分线的定义
专题：
分析：（1）先计算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，再根据角平分线的定义得到∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
×120°=60°，∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
×
30°=15°，然后利用∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（2）先计算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°，再根据角平分线的定义得到∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
（a°+30°），∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
×30°=15°，然后利用∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（3）先得到∠AOC=90°+β，再根据角平分线的定义得到∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
（90°+β），∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
β，然后利用∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（4）利用前面计算的结论得到∠MON=
1
2
∠AOB．
解答：解：（1）因为∠AOB=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
×120°=60°，
∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°；
（2）因为∠AOB=a°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
（a°+30°），
∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=
1
2
（a°+30°）-15°=
1
2
a°．
（3）因为∠AOB=90°，∠BOC=β，所以∠AOC=90°+β，
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=
1
2
∠AOC=
1
2
（90°+β），∠CON=
1
2
∠BOC=
1
2
β．
所以∠MON=∠COM-∠CON=
1
2
（90°+β）-
1
2
β=45°．
（4）从（1）（2）（3）的结果中可以看出∠MON=
1
2
∠AOB，而与∠BOC的大小无关．
点评：本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．也考查了角平分线的定义．
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12
×
6
3
+
2
+
3
2
-
3
=
 
．

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