Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AF，BE、CF交于点O，过A作BE的垂线交BC于D，过D作CF的垂线交BE于G．
（1）求证：BO=AD；
（2）求证：BG=AD+DG；
（3）连接OD，证明OD∥AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连接AO并延长与BC相交于点M，利用“边角边”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ACF，再求出∠OBC=∠OCB，根据等角对等边可得OB=OC，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上得到AM垂直平分BC，再根据等腰直角三角形的性质可得AM=BM=CM，再根据同角的余角相等求出∠OBM=∠DAM，再利用“角角边”证明△OBM和△DAM全等，根据全等三角形对应边相等可得OB=AD；
（2）连接OD，根据全等三角形对应边相等可得OM=MD，再求出AO=CD，然后利用“边边边”证明△AOD和△COD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADO=∠COD，再根据等角的余角相等求出∠GDO=∠GOD，根据等角对等边可得OG=DG，再根据BG=OB+OG等量代换即可得证；
（3）求出∠MDO=45°，从而得到∠ACB=∠MDO，然后根据同位角相等，两直线平行证明即可．

解答：证明：（1）如图，连接AO并延长与BC相交于点M，
在△ABE和△ACF中，

AB=AC ∠BAE=∠CAF=90° AE=AF

，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∴AM=BM=CM，
∵AD⊥BE，
∴∠OBM+∠ADM=90°，
又∵∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠OBM=∠DAM，
在△OBM和△DAM中，

∠OBM=∠DAM ∠AMD=∠BMO=90° AM=BM

，
∴△OBM≌△DAM（AAS），
∴BO=AD；

（2）连接OD，
∵△OBM≌△DAM，
∴OM=MD，
又∵AM=CM，
∴AO=CD，
∵OB=AD，OB=OC，
∴AD=OC，
在△AOD和△COD中，

AO=CD AD=OC OD=OD

，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠GDO=∠GOD，
∴OG=DG，
∵BG=OB+OG，
∴BG=AD+DG；

（3）∵OM=OD，AM⊥BC，
∴∠MDO=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠MDO，
∴OD∥AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于利用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AM垂直平分BC．