Question

10．如图，在四边形ABCE中，∠ABC=45°，AE=CE，连接AC，∠ACB=30°，过A作AD⊥AE交BC于D．若AD=AE，则$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 作DH⊥AB于H，DM⊥AC于M，EN⊥AC于N，如图，先证明△DAM≌△AEN得到DM=AN，再利用等腰三角形的性质得AC=2AN，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2DM，则CD=CA，于是可计算出∠DAB=30°，设DH=a，则AD=2a，AH=$\sqrt{3}$a，BH=DH=a，然后计算$\frac{AD}{AB}$的值．

解答 解：作DH⊥AB于H，DM⊥AC于M，EN⊥AC于N，如图，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，即∠DAM+∠NAE=90°，
而∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠NAE，
在△DAM和△AEN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠ANE}\\{∠ADM=∠NAE}\\{DA=AE}\end{array}\right.$
∴△DAM≌△AEN，
∴DM=AN，
∵EA=EC，
∴AN=CN，
∴AC=2AN，
在Rt△CDM中，∵∠DCM=30°，
∴CD=2DM，
∴CD=CA，
∴∠ADC=∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
而∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠DAB=75°-45°=30°，
设DH=a，则AD=2a，AH=$\sqrt{3}$a，BH=DH=a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}a+a}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了全等三角形的判定于性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．记住含30度的直角三角形三边的关系．